Enunciado

(a) Se f x = 3 x + 4 | x - 1 | , prove que f tem um valor mínimo absoluto de 3. (b) Se g x = 4 x + 3 | x - 1 | , prove que g tem um valor mínimo absoluto de 3. (c) Se a > 0 e b > 0, e se h x = a x + b | x - 1 | , prove que h tem um valor mínimo absoluto que é menor dos dois números a e b.

Passo 1

Para resolver o item (a) basta encontrar os pontos críticos da equação dada. Porém, lembre-se que não podemos usar derivada para achar esses pontos pois a função é modular.

Sabendo disso os pontos críticos são os pontos na qual um dos termos dão zero, assim, quando x=1 ou quando x=0, haverá descontinuidade no gráfico, como pode ser visualizado na imagem abaixo:

Dessa maneira, bastar substituirmos o valor dos pontos críticos na função e verificar qual é o menor deles. Logo,

f 0 = 4

f 1 = 3

Passo 2

Da mesma maneira é feita o item (b). Assim os pontos críticos da função g x são, x=1 e x=0.

Com isso, basta substituirmos os pontos críticos na função, assim:

g 0 = 3

g 1 = 4

Logo, o valor mínimo da função é 3.

Passo 3

A resolução do item (c) não difere do itens anteriores, sabendo disso, vamos achar os pontos críticos da função h , que são os mesmo do itens anteriores, x=0 e x=1.

Substituindo os valores na função, temos:

h 0 = b

h 1 = a

Note que, o valor mínimo absoluto é o menor dos dois número a e b, o que prova a questão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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