Enunciado

Encontre os limites nos Exercícios 13-24 reescrevendo primeiro as frações.

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Dizemos que uma função f x ,   y se aproxima do limite L à medida que x ,   y se aproxima de x 0 ,   y 0 e escrevemos:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = L

Para resolvermos este limite iremos precisar a Regra de L’Hôpital:

Se f a = g a = 0 , tanto f ' quanto g ' existem em um intervalo aberto I contendo a e g ' x ≠ 0 em I se x ≠ a , então:

lim x → a ⁡ f x g x =   lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Sabendo disso, vamos derivar em relação a x :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x cos ⁡ x 2 + y 2 2 x

Passo 2

Derivando novamente:

= lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 [ cos ⁡ x 2 + y 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 + y 2 ] 2

= lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ cos ⁡ x 2 + y 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 + y 2

= cos ⁡ 0 - 2 ∙ 0 ∙ sen ⁡ 0 = 1

Tchau pessoal, te espero para fazermos mais exercício juntos!

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 .

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