Enunciado

Em que pontos ( x ,   y ,   z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas?

  1. f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - 2 z 2
  2. f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - 1

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 de D .

Essa descrição pode ser estendida para as funções de três ou mais variáveis. Sendo assim, a função f é contínua em x 0 ,   y 0 ,   z 0 se:

lim x ,  y ,  z → x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f x ,   y ,   z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - 2 z 2

Essa função polinomial é contínua em todo ponto de R 3 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - 1

Sabemos que a raiz quadrada não pode ser zero e negativa, porém os valores de x e y serão sempre positivos, porque são valores ao quadrado. Então não sabemos que:

x 2 + y 2 - 1 ≠ 0

x 2 + y 2 ≠ 1

Sendo assim, a função f é contínua em todo x ,   y ,   z , exceto quando x 2 + y 2 = 1 .

Tchau pessoal. Espero ter conseguido te ajudar!

Resposta

  1. Todo x ,   y ,   z .
  2. Todo x ,   y ,   z , exceto no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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