Enunciado

10. Demonstre que qualquer função f : R → R pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função impar

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares e funções pares

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Uma função é ímpar se:

f x = f ( - x )

Passo 2

Chamaremos a nossa função de f ( x )

E temos que demonstrar que f ( x ) pode ser escrito como:

f ( x ) = I x + P ( x )

I x é uma função ímpar, então I x = - I - x

P ( x ) é uma função par, então P x =   P - x

Passo 3

Assim como f ( x ) existe, podemos afirmar que f ( - x ) também existe.

Então mudaremos o sinal da função na equação : f ( - x ) = I - x + P ( - x )

f - x = - I x + P ( x )

Temos um sistema dessa forma

f x = I x + P ( x ) f - x = - I x + P ( x )

Somando as duas temos:

f x + f - x = 2 P ( x )

f x + f - x 2 = P ( x )

Como f x existe e f - x também existe, podemos afirmar que P ( x ) também existe!

Agora substituiremos a expressão de P ( x ) na primeira expressão.

f x = I x + f x + f - x 2

f x - f x + f - x 2 = I x

2 f ( x ) - f x - f - x 2 = I x

f x - f ( - x ) 2 = I ( x )

Como f x existe e f - x também existe, podemos afirmar que I ( x ) também existe!

Então I ( x ) e P ( x ) para qualquer função f ( x ) , o que nos permite afirmar que qualquer função pode ser escrita como uma soma de uma função par e uma função impar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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