Investigue a continuidade nos pontos indicados:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4 ,               x ≠ 2 3 ,                               x = 2               e m   x = 2

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 2 , ele nos diz que:

f 2 = 3

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4 existe, para isso valor calcular esse limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4 = lim x → 2 ⁡ x - 2 x 2 + 2 x + 4 x - 2 x + 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 + 2 x + 4 x + 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 2 + 2 =

= 4 + 4 + 4 4 = 12 4 = 3

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4 = 3 = f 2 = 3

Pronto, passou também pela terceira condição, então f x é contínua em x = 2 .

Resposta

f x é contínua em x = 2

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