Enunciado

Sejam f uma função derivável até a 5 ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que

f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0

é uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão de f . Generalize tal resultado.

Passo 1

Sendo f 5 p ≠ 0 , haverá uma vizinhança de pontos em torno de p em que f 4 x será estritamente crescente (se f 5 p > 0 ) ou estritamente decrescente (se f 5 p < 0 ), pois f 5 é a derivada de f 4 .

Tomando o caso em que f 5 p > 0 , teremos f 4 x > 0 se x > p e f 4 x < 0 se x < p , pois f 4 é estritamente crescente em torno de p e f 4 p = 0 .

Passo 2

Já que f 4 é a derivada de f 3 , isso significa que f 4 > 0 indica que f 3 é crescente e f 4 < 0 indica que f 3 é decrescente.

Sendo assim, como f 4 x > 0 se x > p e f 4 x < 0 se x < p , e f 3 p = 0 , teremos que o gráfico de f 3 decresce para 0 à medida que se aproxima do ponto p (pela esquerda), e então começa a crescer à direita do ponto p .

Para te ajudar a compreender, você pode imaginar o gráfico de f 3 como uma parábola com concavidade para cima, cujo vértice é o ponto p ,   0 .

Passo 3

Com isso, concluímos que a derivada f 3 é positiva na vizinhança do ponto p , o que implica que f ' ' é estritamente crescente em torno de p .

Note que esse é o mesmo caso de quando tomamos f 5 p > 0 e concluímos que f 4 é estritamente crescente em torno de p .

Assim, na vizinhança de p , teremos:

x > p ⇒ f ' ' x > 0

x < p ⇒ f ' ' x < 0

Ou seja, já tínhamos que f ' ' p = 0 e agora sabemos que os sinais de f ' ' x à direita e à esquerda de p são contrários.

Isso mostra que p é realmente um ponto de inflexão de f .

Passo 4

Perceba que existe um padrão nos procedimentos, que se repete a cada duas derivadas.

As implicações que tivemos entre f 5 e f 4 foram bem parecidas com as que tivemos entre f 3 e f 2 .

Além disso, se tivéssemos apenas f 2 p = 0 e f 3 p ≠ 0 , também concluiríamos que p é ponto de inflexão de f .

Com isso, podemos generalizar o resultado assim: Sejam f uma função derivável até a n -ésima ordem (com n ímpar) no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( n ) contínua em p . Então

f ' ' p = f ' ' ' p = … = f n - 2 p = f n - 1 p = 0 e f n p ≠ 0

é uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão de f .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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