Enunciado

61.

(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.

(b) Use um gráfico de f ' ' para uma estimativa melhor.

f x = sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x ,     0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Item a:

Pelo gráfico de f :

Passando para a escala de números inteiros, temos que

Então a concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de:

0.8 ,   1 . 55 ∪ 2 . 2 ,   3.1 ∪ 3.8 ,   4 . 5 ∪ 5.3 ,   6.3  

E concavidade para baixo em

0 ,   0 . 8 ∪ 1 . 55 ,   2 . 2 ∪ 3,1 ,   3.8 ∪ 4 . 5 ,   5.3

E seus pontos de inflexão são dados no momento de trocas de concavidade logo temos que

P . I = 0 , 8 ; 0,7 ,   1,5 5 ; 0 ,   2,2 ; - 0,7 ,   3,1 , ; 0 ,   3,8 ; 0,7 ,   4 , 5 ; 0 ,   ( 5,3 ; - 0,7 )  

Passo 2

Show de bolinhas!!

Agora na letra (b), temos que analisar o gráfico de f ' ' , isto é, da segunda derivada de f . Primeiro vamos derivar ela e depois com a função vamos descobrir o gráfico.

f = sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x

f ' = 2 cos ⁡ 2 x + 4 cos ⁡ 4 x

f ' ' = - 4 sin ⁡ 4 x - 16 sin ⁡ 4 x

Logo, o gráfico é:

Se f ' ' é negativa, então f possui concavidade para baixo, se f ' ' é positiva, então f possui concavidade para cima e se f ' ' é nula, temos um ponto de inflexão. Então a concavidade é voltada para cima nos intervalo aproximado de:

0.85 ,   1.6 ∪ 2.3 ,   π ∪ 3.8 ,   4.6 ∪ 5.3 ,   2 π  

E concavidade para baixo em

0 ,   0 . 85 ∪ 1.6 ,   2.3 ∪ π ,   3.8 ∪ 4.6 ,   5.3

E seus pontos de inflexão são:

P . I = 0,85 ; 0,74 ,   1,57 ; 0 ,   2,29 ; - 0,74 ,   π , ; 0 ,   3,8 ; 0,74 ,   4,6 ; 0 ,   ( 5,3 ; - 0,74 )  

Resposta

(a) A concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de:

0.8 ,   1.55 ∪ 2.2 ,   3.1 ∪ 3.8 ,   4.5 ∪ 5.3 ,   6.3  

E concavidade para baixo em

0 ,   0.8 ∪ 1.55 ,   2.2 ∪ 3,1 ,   3.8 ∪ 4.5 ,   5.3

E seus pontos de inflexão são:

P . I = 0,8 ; 0,7 ,   1,55 ; 0 ,   2,2 ; - 0,7 ,   3,1 , ; 0 ,   3,8 ; 0,7 ,   4,5 ; 0 ,   ( 5,3 ; - 0,7 )  

(b) A concavidade é voltada para cima nos intervalo aproximado de:

0.85 ,   1.6 ∪ 2.3 ,   π ∪ 3.8 ,   4.6 ∪ 5.3 ,   2 π  

E concavidade para baixo em

0 ,   0.85 ∪ 1.6 ,   2.3 ∪ π ,   3.8 ∪ 4.6 ,   5.3

E seus pontos de inflexão são:

P . I = 0,85 ; 0,74 ,   1,57 ; 0 ,   2,29 ; - 0,74 ,   π , ; 0 ,   3,8 ; 0,74 ,   4,6 ; 0 ,   ( 5,3 ; - 0,74 )  

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h) f(x) = 1- e - x
1-Estude a função com relação a concavidade e os pontos de inflexãoa)f(x) = x 3 - 3 x 2 - 9x
b) f(x) = 2 x 3 - x 2 - 4x + 1
e) g(x) = e - x - e - 2 x
l) g(x) = x 2 -x 3 3