Enunciado

(a) Use um gráfico de f para fornecer uma estimativa aproximada dos intervalos de concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.

(b) Use um gráfico de f ' ' x para obter melhores estimativas.

f x = x - 1 2 x + 1 3

Passo 1

Bom galera, a nossa função é:

f x = x - 1 2 x + 1 3

→ f x = ( x 2 - 2 x + 1 ) ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 )

Então vamos dar uma olhadinha no gráfico da função agora:

Passo 2

Beleza, observando o gráfico a gente consegue encontrar (a):

Convavidade para cima: - 1 : - 0.3 ,   0.7 : ∞

Que é o intervalo que a função vai ficar inclinando pra cima.

Convavidade para baixo: - ∞ : - 1 ,   - 0.3 : 0.7

Quando a função vai ficar inclinando pra baixo.

Pontos de inflexão: - 1 , - 0.3 , 0.7

Que são os pontos que a concavidade vai mudar.

Passo 3

Show de bola, agora vamos derivar a função duas vezes usando a regra geral e a regra da multiplicação:

h x g x ' = h x ⋅ g ' x + h ' x ⋅ g ( x )

A gente vai encontrar que a primeira derivada da função é:

f ' x = x 2 - 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 3 + 2 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1

→ f ' x = 5 x 4 + 4 x 3 - 6 x 2 - 4 x + 1

E derivando denovo do mesmo jeito:

f ' ' x = 20 x 3 + 12 x 2 - 12 x - 4

Passo 4

Agora, a gente olha no gráfico da segunda derivada pra encontrar quando:

f ' ' x = 0

Passo 5

Ou seja, (b) os pontos de inflexão são: - 1 , - 0.29 , 0.69

E com isso temos os pontos mais exatos das concavidades que são:

Convavidade para cima: - 1 : - 0 . 29 ,   0 . 69 : ∞

Convavidade para baixo: - ∞ : - 1 ,   - 0 . 29 : 0 . 69

Resposta

(a)

Convavidade para cima: - 1 : - 0.3 ,   0.7 : ∞

Convavidade para baixo: - ∞ : - 1 ,   - 0.3 : 0.7

Pontos de inflexão: - 1 , - 0.3 , 0.7

(b)

Convavidade para cima: - 1 : - 0.29 ,   0.69 : ∞

Convavidade para baixo: - ∞ : - 1 ,   - 0.29 : 0.69

Pontos de inflexão: - 1 , - 0 . 29 , 0 . 69

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g) y =x 1 + x 2
f) g(x) = x 2 x 2 - 2
n) f(x) = x e 1 x
o) f x =x ln ⁡ x
j) x 4 -2 x 3 +2 x