Enunciado

Sejam f x = x 2 3 , a = - 1 e b = 8 .

(a) Mostre que não há num intervalo ( a , b ) um ponto c tal que

f ' c = f b - f a b - a

(b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos olhar para o gráfico de f x = x 2 3 para termos uma ideia melhor do que está acontecendo nesse intervalo ( - 1 , 8 ) :

Repare que quando x = 0 , nós temos um “bico”. Então, nesse ponto, a função não é diferenciável. Para que a equação seja verdade, a função deveria ser diferenciável em o todo intervalo ( - 1,8 ) .

Passo 2

(b) Para que satisfaça o Teorema do Valor Médio, a função precisa ser contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Mas, como vimos no passo anterior, a função não é derivável no intervalo, por conta desse bico em x = 0 . Por isso, o resultado na letra anterior não viola o Teorema do Valor Médio.

Resposta

Explicações e demonstrações no passo a passo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

19. Água em um reservatório Como resultado das fortes chuvas, o volume de água de um reservatório aumentou 1400 acre-pé em 24 horas. Demonstre que, em algum instante durante o referido período, o volu
No exercício a seguir, comprove que as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do Te
No exercício a seguir, comprove que as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do Te
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = x 2 + 2 x - 1 ; 0,
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = x 2 + 2 x - 1 ; 0,