Enunciado

No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio

f x = x 2 + 2 x - 1 ; 0,1

Passo 1

Bom galera, temos que trabalhar neste exercício com o teorema do valor médio. Ele é bem mais simples do que parece, e vamos esclarecer aqui rapidinho algumas coisas sobre ele, tá bom? Ele funciona da seguinte forma:

Seja uma função f tal que:

  1. Ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]
  2. Ela seja derivável no intervalo aberto (a,b)

Então exite um número c no intervalo aberto (a,b), tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Não entendeu nada? Calma... vamos mastigar esse teorema JUNTOS!

Passo 2

A primeira hipótese fala da função ser continua no intervalo fechado [a,b]. Como é uma função polinomial super de boas, a gente sabe que: não só ele é continuo no intervalo fechado [a,b], como também é DERIVÁVEL no intervalo abeto (a,b), porque toda função polinomial não racional, existe em todo o eixo x... então... QUE BOOOOOOM! Não está convencido(a) ainda? Vamos para o gráfico então:

Tá vendo galerinha? A gente pode ver claramente que a função é contínua e derivável no nosso intervalinho dado!!

Passo 3

Agora neste passo, iremos nos concentrar em comprovar a parte do teorema que diz que para a nossa função, existe:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos lá! Nossa função aplicada em a:

f a = x 2 + 2 x - 1   ; a = 0

f 0 = 0 2 + 2 * 0 - 1

f 0 = 0

Agora para nossa função aplicada em b

f a = x 2 + 2 x - 1   ; a = 0

f 1 = 1 2 + 2 - 1

f 1 = 0

Passo 4

Tamo quase lá galera! Então checamos que a nossa função é 0 para os dois pontos do intervalo. Portanto para matar a questão, basta achar a nossa conclusão. Para acharmos isso, temos que derivar nossa função e verificar se o nosso “c” realmente está dentro do intervalo! Vamo nessa!

Temos que o nosso f:

f x = 3 cos 2 ⁡ x

Derivando:

f ' x = - 6 cos ⁡ x s e n ( x )

- 6 cos ⁡ x s e n x = 0

A raíz dessa equação corresponde a:

x = π

E esse ponto, está no intervalo de π 2 , 3 π 2 ! Logo, TEOREMA MASTIGADO, DESTRUÍDO E PROVAAAADO!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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