Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 55
Sejam e números positivos. Ache o comprimento do menor segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e passa pelo ponto .
Passo 1
Esboçando o desenho temos:
Passo 2
Todo seguimento de reta no primeiro quadrante passando através de e com pontos extremos nos eixos e , satisfazem uma equação que tem a seguinte fórmula:
porque a inclinação da reta é negativa.
Assumindo os valores de e , a gente encontra os pontos extremos e
Agora que achamos esse tanto de letras, fica fácil achar a distância entre os pontos e , para posteriormente, por meio da derivada, achar o menor seguimento de reta:
Para facilitar a resolução, vamos usar , assim some essa raiz chata!
Passo 3
Finalmente minimizando essa coisa enorme:
Igualando a zero:
Como é maior que zero e precisa ser menor que zero, .
Passo 4
Agora para fechar com chave de ouro, vamos encontrar :
A última expressão está na forma , com e , então a gente pode escrever isso como , então o menor seguimento mede
Resposta
Comprimento do menor seguimento de reta: