Enunciado

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Sejam a e b números positivos. Ache o comprimento do menor segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e passa pelo ponto ( a , b ) .

Passo 1

Esboçando o desenho temos:

Passo 2

Todo seguimento de reta no primeiro quadrante passando através de ( a , b ) e com pontos extremos nos eixos x e y , satisfazem uma equação que tem a seguinte fórmula:

y - b = m x - a

m < 0 porque a inclinação da reta é negativa.

Assumindo os valores de x = 0 e y = 0 , a gente encontra os pontos extremos A 0 , b - a m e B a - b m , 0 .

Agora que achamos esse tanto de letras, fica fácil achar a distância entre os pontos A e B , para posteriormente, por meio da derivada, achar o menor seguimento de reta:

d = a - b m - 0 2 + 0 - b - a m 2

Para facilitar a resolução, vamos usar S m = d 2 , assim some essa raiz chata!

S m = a - b m 2 + a m - b 2

S m = a 2 - 2 a b m + b 2 m 2 + a 2 m 2 + b ²

Passo 3

Finalmente minimizando essa coisa enorme:

S ' m = 2 a b m 2 - 2 b 2 m 3 + 2 a 2 m - 2 a b

S ' m = 2 m 3 ( a b m - b 2 + a 2 m 4 - a b m 3

S ' m = 2 m 3 b a m - b + a m 3 a m - b

S ' m = 2 m 3 a m - b b + a m 3

Igualando S ' ( m ) a zero:

m = b a   o u   m = - b a 3

Como b / a é maior que zero e m precisa ser menor que zero, m = - b a 3 .

Passo 4

Agora para fechar com chave de ouro, vamos encontrar S - b a 3 :

S - b a 3 = a + b a b 3 2 + - a b a 3 - b 2 = a + a b 2 3 2 + a 2 b 3 + b 2

S - b a 3 = a 2 + 2 a 4 3 b 2 3 + a 2 3 b 4 3 + a 4 3 b 2 3 + 2 a 2 3 b 4 3 + b 2 = a 2 + 3 a 4 3 b 2 3 + 3 a 2 3 b 4 3 + b 2

A última expressão está na forma x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 = x + y 3 , com x = a 2 3 e y = b 2 3 , então a gente pode escrever isso como a 2 3 + b 2 3 3 , então o menor seguimento mede

d 2 = S = a 2 3 + b 2 3 3

d = a 2 3 + b 2 3 3 2

Resposta

Comprimento do menor seguimento de reta: a 2 3 + b 2 3 3 2

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