Enunciado

Uma cerca de 2 m de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de 1 m   do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da cerca?

Passo 1

E aeeee!! Belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma cerca de 2 m de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de 1 m   do edifício.

Com isso, a questão quer que calculemos o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da cerca.

Mas primeiro, vamos esboçar um desenho para entendermos o que está acontecendo:

Com isso, vamos chamar de C o tamanho da hipotenusa do maior triângulo acima.

Dessa forma, o que o exercício quer é a menor hipotenusa possível desse triângulo retângulo formado na figura.

Dessa forma, vamos minimizar esses custos aplicando derivações.

Assim, lembre-se que para descobrirmos pontos de máximo ou mínimo, basta derivarmos uma função e igualar a zero!!

E aí? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

C 2 = x 2 + y 2

Para minimizar, a gente precisa que a fórmula dependa de apenas uma variável, então podemos usar semelhança de triângulos para isolar uma delas:

x x - 1 = y 2 ∴

y = 2 x x - 1

Substituindo y em C :

f x = C 2 = x 2 + 2 x x - 1 2

Passo 3

Derivando C e igualando a 0 para minimizar o comprimento:

f ' x = 2 x - 8 x x - 1 3 = 0

f ' x = 2 x ( 1 - 4 x - 1 3 ) = 0

A derivada tem solução x = 0 ou

1 = 4 x - 1 3 ∴  

x - 1 3 = 4 ∴  

  x - 1 3 3 = 4 3 ∴

x - 1 = 4 3 ∴

x = 4 3 + 1 ∴

x = 4 1 3 + 1

Como em f ( x ) tem-se x no divisor

f x = C 2 = x 2 + 2 x x - 1 2

Ele precisa ser diferente de 1 , e como estamos tratando de comprimento e não existe comprimento negativo, x necessariamente precisa ser maior que um, então olha que beleza, só sobrou a segunda raiz pra gente usar!!!

Então, substituindo x = 4 1 3 + 1   em f ( x ) :

f x = C 2 = 4 1 3 + 1 2 + 2 4 1 3 + 1 4 1 3 + 1 - 1 2 ∴

f x = C 2 = 2 * 4 1 3 + 5 + 4 * 2 1 3 +   4 2 3 + 2 2 3 ∴

f x = C 2 ≅ 17,32173 ∴

C = 17,32173 ∴

C ≅ 4,1619

Resposta

C ≅ 4,161 9

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Encontre d 3 y d x 3 se y = 3 - 2 x .
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