Enunciado

Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio da base r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos fala de cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio da base r e pede pra a gente encontrar o maior volume possível pra esse cilindro.

Temos aqui um problema de máximos e mínimos! Especificamente um máximo, então vamos resolver derivando uma função e igualando à zero.

Mas antes disso, um esqueminha pra nos ajudar a escrever a função:

Observe que nós vamos precisar usar o volume do cilindro e tentar escrevê-la em função de apenas uma variável (usando as relações do triângulo que aparece na figura) e encontrar os pontos críticos dessa função. Então, vamos lá!

Passo 2

Para calcular o volume de um cilindro fazemos:

V = π r 2 h

Mas observe que a altura do cilindro é h - y na figura e que o raio pode ser escrito como x . Assim, teremos:

V = π x 2 h - y

E aplicando a distributiva no produto:

V = π x 2 h - π x 2 y

Passo 3

No desenho acima temos um caso de semelhança de triângulos! Podemos comparar o raio r do cone com o raio x do cilindro, e a altura h do cone com a altura y formada pelo triângulo retângulo menor.

Primeiro, usamos a semelhança para isolarmos uma das variáveis:

x r = y h

y = x h r

Substituindo a variável isolada na expressão de volume, vamos ter:

V = π x 2 h - π x 2 y

V = π x 2 h - π x 3 h r

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada de V em relação a x :

V ' = 2 x π h - 3 π x 2 h r

Igualamos a zero:

2 x π h - 3 π x 2 h r = 0

x 2 π h - 3 π x h r = 0

Assim, pra que esse produto seja verdadeiro, devemos ter:

x = 0

ou

2 π h - 3 π x h r = 0

Mas o raio não pode ser zero, então x = 0 não é uma boa solução. Usando o segundo resultado, vamos ter:

2 π h = 3 π x h r

Simplificando:

2 = 3 x r

E isolando x :

x = 2 r 3

Temos dois pontos críticos, mas pra x = 0 temos V = 0 , então o ponto máximo deverá ser x = 2 r 3 .

Passo 5

Encontrando o volume máximo:

V = π x 2 h - π x 3 h r

Só precisamos substituir o x e calcular:

V = π 2 r 3 2 h - 2 h 3

V = π 4 r 2 9 h 3

Então:

V = 4 π r 2 h 27

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 π r 2 h 27

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