Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 32
Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura e raio da base . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos fala de cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura e raio da base e pede pra a gente encontrar o maior volume possível pra esse cilindro.
Temos aqui um problema de máximos e mínimos! Especificamente um máximo, então vamos resolver derivando uma função e igualando à zero.
Mas antes disso, um esqueminha pra nos ajudar a escrever a função:
Observe que nós vamos precisar usar o volume do cilindro e tentar escrevê-la em função de apenas uma variável (usando as relações do triângulo que aparece na figura) e encontrar os pontos críticos dessa função. Então, vamos lá!
Passo 2
Para calcular o volume de um cilindro fazemos:
Mas observe que a altura do cilindro é na figura e que o raio pode ser escrito como . Assim, teremos:
E aplicando a distributiva no produto:
Passo 3
No desenho acima temos um caso de semelhança de triângulos! Podemos comparar o raio do cone com o raio do cilindro, e a altura do cone com a altura formada pelo triângulo retângulo menor.
Primeiro, usamos a semelhança para isolarmos uma das variáveis:
Substituindo a variável isolada na expressão de volume, vamos ter:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada de em relação a :
Igualamos a zero:
Assim, pra que esse produto seja verdadeiro, devemos ter:
ou
Mas o raio não pode ser zero, então não é uma boa solução. Usando o segundo resultado, vamos ter:
Simplificando:
E isolando :
Temos dois pontos críticos, mas pra temos , então o ponto máximo deverá ser .
Passo 5
Encontrando o volume máximo:
Só precisamos substituir o e calcular:
Então:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
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