Enunciado

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Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio da base r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.

Passo 1

O exercício nos dá a medida do raio r da base do cone e de sua altura h , assim podemos esboçar uma figura:

Passo 2

Esse desenho forma um caso clássico de semelhança de triângulos, onde podemos comparar o raio r do cone com o raio x do cilindro, e a altura h do cone com a altura y formada pelo triângulo retângulo menor.

Nosso volume tem a seguinte fórmula:

V = π x 2 h - y = π x 2 h - π x 2 y

Primeiro, usamos a semelhança para isolarmos uma das variáveis:

x r = y h

y = x h r

Substituindo a variável isolada:

V = π x 2 h - π x 3 h r

Passo 3

Maximizando a fórmula do volume por meio da derivada:

V ' x = 0 = 2 π x h - 3 π x 2 h r

V ' x = 0 = π x h 2 - 3 x r

x = 0   o u   3 x = 2 r → x = 2 r 3

Como o valor do raio do cilindro não pode ser zero, x = 2 r 3 .

Substituindo x em y :

y = x h r

y = 2 r h 3 r = 2 h 3

Passo 4

Encontrando o volume máximo:

V = π x 2 h - π x 3 h r

V = π 2 r 3 2 h - 2 h 3

V = π 4 r 2 9 h 3

V = 4 π r 2 h 27

Resposta

Volume máximo: 4 π r 2 h 27

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