Sejam alpha e s, s > 0 , reais dados. Verifique que

∫ 0 + ∞ e - s t   e α t   d t = 1 s - α   ( s > α )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s t   e α t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   e α t   d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   e α t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t + α t   d t

= lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - ( s - α ) t   d t = lim A → + ∞ ⁡ - e - s - α t s - α 0 A

= lim A → + ∞ ⁡ - 1 e s - α t s - α 0 A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

lim A → + ∞ ⁡ - 1 e s - α t s - α 0 A = lim A → + ∞ ⁡ - 1 e s - α A s - α + 1 e 0 s - α

No limite a primeira fração vai zerar, então temos

∫ 0 + ∞ e - s t   e α t   d t = 1 s - α

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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