Enunciado

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45. Determine se é possível representar por um número a medida da área da região à direita do eixo y, limitada pela curva 4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0 e sua assíntota. Sendo possível, calcule-o.

Passo 1

O que enunciado nos pede meio que implicitamente é para mostrarmos se a integral que nos fornece a área da região em questão é convergente ou não. Pois como sabemos, calcular a área de uma região nada mais é que resolver uma integral definida.

Uma sacada importante nesta questão é definir quem é nossa função primeiramente, para depois saber quem você tem que integrar.

Passo 2

Sendo assim, reorganizando nossa função temos:

4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0

y = x 4 - x

Passo 3

Logo, como o enunciado fala à direita de y temos que nosso intervalo é x indo de   ( 0,4 ) . Assim, temos que nossa área pode ser dada por:

A x = ∫ 0 4 x 4 - x d x = lim t → 4 - ⁡ ∫ 0 t x 4 - x d x = l i m t → 4 - - 2 - 1 3 4 - x 3 2 + 4 4 - x 0 t

= l i m t → 4 - - 2 - 1 3 4 - t 3 2 + 4 4 - t - - 1 3 4 3 2 + 8

= l i m t → 4 - - 2 8 3 - 8

= l i m t → 4 - 32 3 = 32 3

Logo, a integral que nos fornece a área é convergente e portanto é possível calcular a área desejada.

Sendo assim, a área é A x = 32 3 .

Resposta

A x = 32 3

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