Enunciado

  1. Calcule ∫ 1 ∞   π 1 x 2 d x
  2. Esse sólido de revolução é, por vezes, descrito como uma lata que não tem tinta o bastante para cobrir o próprio interior. Pense nisso por um momento. O bom senso nos diz que uma quantidade finita de tinta não pode cobrir uma superfície infinita. Mas, se enchermos a corneta de tinta (uma quantidade finita), então teremos coberto uma superfície infinita. Explique a aparente contradição.

Passo 1

Vamos resolver a letra a) Temos uma integral imprópria para resolver, beleza? Então, vamos fazer a seguinte substituição na integral,

∫ 1 ∞   π 1 x 2 d x = π lim b →  ∞ ⁡   ∫ 1 ∞   1 x 2 d x = π lim b →  ∞ ⁡   - 1 x 1 b =   π     l i m b →   ∞ - 1 b - - 1 1 = π 0 + 1 = π

Passo 2

Agora, vamos resolver o item b) . Essa resposta é um tanto que pessoal, mas refletindo um pouco...

Parece contraditório, pois ora não é possível recobrir o sólido com uma quantidade finita (pois o área é infinita), mas é possível preenche-lo com uma quantidade finita (pois o volume é finito),o que parece que o solido é finito e infinito ao mesmo tempo.

Resposta

  1. ∫ 1 ∞   π 1 x 2 d x = π
  2. Parece contraditório, pois ora não é possível recobrir o sólido com uma quantidade finita (pois o área é infinita), mas é possível preenche-lo com uma quantidade finita (pois o volume é finito),o que parece que o solido é finito e infinito ao mesmo tempo
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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ π / 2 s e n2 θd θ
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ + ∞ x 3 e - x 4d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ + ∞ x e - x 2d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 1 + ∞ e - x xd x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ - ∞ π / 4 cot ⁡ x d x