Sejam alpha e s, s > 0 , reais dados. Verifique que

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2 + α 2   ( α ≠ 0 )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t   d t

Passo 2

Agora podemos resolver a integral

l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t

Usando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = sen ⁡ α t g ' = e - s t   →   f ' = α cos ⁡ α t g = - e - s t s

Então

l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t = l i m A → + ∞ - e - s t s sen ⁡ α t 0 A + l i m A → + ∞ α s ∫ 0 A e - s t cos ⁡ α t d t

Passo 3

Resolvendo o limite

l i m A → + ∞ - 1 s e s t sen ⁡ α t 0 A = l i m A → + ∞ - 1 s e s A sen ⁡ α A + 1 s e s 0 sen ⁡ 0

O seno de infinito é indeterminado, mas a função seno é limitada em - 1 e 1 , então por teorema do confronto podemos afirmar que

l i m A → + ∞ - 1 s e s A sen ⁡ α A = 0

Porque e s A → + ∞ , e temos

l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t = l i m A → + ∞ α s ∫ 0 A e - s t cos ⁡ α t d t

Passo 4

Para a integral ∫ 0 A e - s t cos ⁡ α t d t , vamos usar a integração por partes novamente

f = cos ⁡ α t g ' = e - s t   →   f ' = - α sen ⁡ α t g = - e - s t s

l i m A → + ∞ α s ∫ 0 A e - s t cos ⁡ α t d t = α s l i m A → + ∞ - e - s t s cos ⁡ α t 0 A - l i m A → + ∞ α s ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t

Calculando o limite

l i m A → + ∞ - 1 s e s t cos ⁡ α t 0 A = l i m A → + ∞ - 1 s e s A cos ⁡ α A + 1 s e 0 cos ⁡ 0

= 1 s

Passo 5

Substituindo

l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t = α s 1 s - l i m A → + ∞ α s ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t

l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t = α s 2 - l i m A → + ∞ α 2 s 2 ∫ 0 A e - s t sen ⁡ α t d t

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2 - α 2 s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t + α 2 s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2

1 + α 2 s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2

Fazendo MMC dentro do parêntese

s 2 + α 2 s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2

Multiplicando dos dois lados pelo inverso da fração

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2 ⋅ s 2 s 2 + α 2

∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2 + α 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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