Enunciado

Suponha que y = g ( x ) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Suponha, ainda, ∂ f ∂ y x , y ≠ 0 em D f .

a) Prove que ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0 é uma condição necessária para que x 0 seja ponto de máximo local de g .

b) Prove que g ' ' é contínua em I .

c) Prove que

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0

∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 3 < 0       e m     ( x 0 , y 0 )

é condição suficiente para que x 0 seja ponto de máximo local de g .

Passo 1

Bom, a questão dá uma função y = g ( x ) dada implicitamente pela equação f x , y = 0 onde f é uma função bem-comportada de classe C 2 . São pedidas várias considerações quanto ao fato de x 0 ser ponto de máximo local de g .

Para isso, lembre-se que para funções deriváveis de uma variável (que é o caso de g ), uma condição necessária para que x 0 seja um máximo local é que ele seja um ponto crítico, de modo que

g ' x 0 = 0

Mas do teorema da função implícita, temos que

g ' x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Assim, a condição g ' x 0 = 0 implica

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0

Resolvemos o item (a)!

Passo 2

No item (b) devemos mostrar que g ' ' é contínua. Para isso, temos que derivar g ' :

g ' ' x = d d x - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y = - d d x ∂ f ∂ x   ∂ f ∂ y - ∂ f ∂ x d d x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x 2

Na passagem anterior usamos a regra do quociente! Lembre-se que apesar de aparecer a variável y lá no meio, tudo é função de x .

Agora vamos usar a regra da cadeia:

d d x ∂ f ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ d x d x + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ⋅ d y d x = ∂ 2 f ∂ x 2 + g ' ∂ 2 f ∂ x ∂ y

Eu pude inverter as derivadas parciais mistas pois f é de classe C 2 . Além disso,

d d x ∂ f ∂ y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ d x d x + ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ d y d x = ∂ 2 f ∂ x ∂ y + g ' ∂ 2 f ∂ y 2

Assim, substituindo essas duas relações:

g ' ' x = ∂ f ∂ x   ∂ 2 f ∂ x ∂ y + g ' ∂ 2 f ∂ y 2 - ∂ f ∂ y   ∂ 2 f ∂ x 2 + g ' ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ f ∂ x 2

Note que g ' ' é composta por primeiras e segundas derivadas de f . Como f é de classe C 2 , todas essas derivadas são contínuas. Assim, g ' ' também será contínua!

Passo 3

Por fim, temos que achar as condições suficientes para que x 0 seja máximo local de g . No item (a) mostramos que

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = 0

é uma condição necessária, mas não suficiente. A condição que será suficiente, pelo teste da segunda derivada, é

g ' ' x 0 < 0

Assim, devemos ter

∂ f ∂ x   ∂ 2 f ∂ x ∂ y + g ' ∂ 2 f ∂ y 2 - ∂ f ∂ y   ∂ 2 f ∂ x 2 + g ' ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ f ∂ x 2 < 0 ,       e m       ( x 0 , y 0 )

Usando a expressão de g ' dada pelo teorema da função implícita, chegamos em

∂ 2 f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 2 - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ y + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ f ∂ x 2 ∂ f ∂ y 3 < 0       e m     ( x 0 , y 0 )

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Duas variáveis dependentes Encontre ∂x/∂u e ∂y/∂u se as equações u=x ²–y ² ² ² e y=x ²–y ² definem x e y como funções das variáveis independentes u e y, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugest
Considerando que as equações nos Exercícios 35 e 36 definem y como uma função diferenciável de x, encontre o valor de dy/dx no ponto P. 2 x y + e y + x - 2 = 0 P ( 0 , ln ⁡ 2 )
Considerando que as equações nos Exercícios 35 e 36 definem y como uma função diferenciável de x, encontre o valor de dy/dx no ponto P. 1 - x - y 2 - s e nx y = 0 P ( 0,1 )
Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y como uma função derivável de x , utilize o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado. x y + y 2 - 3 x - 3 = 0 , - 1 ,1
Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y como uma função derivável de x , utilize o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado. x e y + sen ⁡ x y + y - ln ⁡ 2 = 0 ,