Enunciado

Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6 y + 6 = 0 no ponto 1,1 , 1 .

Passo 1

Bom galera, a questão quer que descubra se a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superfície da equação que a questão deu. Então, se a gente encontrar um plano tangente a essa superfície, essa reta deve estar contida nesse plano, certo?

Vamos começar relembrando a equação do plano tangente:

P = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F P 0

Isso porque o vetor gradiente é um vetor direção normal a superficie no ponto, e usamos esse vetor para formar o plano com um produto escalar.

Passo 2

Belezinha, vamos encontrar os vetores gradientes, da superfície da equação:

x y z - x 2 - 6 y + 6 = 0

O vetor gradiente é:

∇ F = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

→ ∇ F = y z - 2 x , x z - 6 , x y

Agora aplicamos o ponto:

∇ F P 0 = 1 1 - 2 ( 1 ) , 1 1 - 6 , 1 1

→ ∇ F = - 1 , - 5 , 1

Passo 3

Show de bolinhas, agora vamos montar a equação do plano:

P = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F P 0

→ P = x - 1 , y - 1 , z - 1 ⋅ - 1 , - 5,1

Agora fazemos o produto escalar, que é a soma dos produtos entre os vetores, bem assim:

P = x - 1 - 1 + y - 1 - 5 + z - 1 1

→ P = - x + 1 - 5 y + 5 + z - 1

→ P = - x - 5 y + z + 5

A gente pode escreve a equação do plano assim isolando o z :

z = x + 5 y - 5

Essa é a função do plano tangente, ou seja todas as infinitas retas tangente a superficie da questão estão contidas nesse plano, só falta a gente testar se a reta do item b ) está dentro.

Passo 4

Por fim, a gente testa se a equação do item b ) :

r = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Está dentro do plano que a gente encontrou, pra isso a gente substitui a equação da reta dentro da do plano como se a equação da reta fosse um ponto, vamos lá:

z = x + 5 y - 5

→ 1 + 3 t = 1 - 2 t + 5 1 + t - 5

→ 1 + 3 t = 1 - 2 t + 5 + 5 t - 5

→ 1 + 3 t = 1 + 3 t

Logo temos que isso é verdadeiro, então a reta está contida nesse plano e assim essa reta é tangente a essa superficie. 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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