1.

Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 em 1,1 , 1 .
  2. Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em 1,1 , 1
Resolução
2.

Considere a função

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

  1. Esboce a superfície de nível S dada por F x , y , z = - 4
  2. Determine a equação do plano tangente a S no ponto P = 1,2 , 3 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  3. Considere a função g x , y derivável em 1,2 e satisfazendo g 1,2 = 3 , ∂ g ∂ x 1,2 = 1 e ∂ g ∂ y 1,2 = 0 . Determine a equação paramétrica (na forma a 1 t + b 1 , a 2 t + b 2 , a 3 t + b 3 , t ∈ R ) da reta tangente À interseção de S com o gráfico de g no ponto P .
Resolução
3.

Considere as funções F : R 3 → R e f : R 2 → R satisfazendo

F x , y , z = x 2 - y + z 2

f 1,2 = 1

∂ f ∂ x 1,2 = 3

∂ f ∂ y 1,2 = 5

Seja S 1 o gráfico de f e seja S 2 a superfície de nível de F dada pela equação F x , y , z = 0

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 no ponto 1,2 , 1 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  2. Determine a equação paramétrica (na forma r t = a 1 + a 2 t , b 1 + b 2 t , c 1 + c 2 t ) da reta tangente a S 1 ∩ S 2 no ponto 1,2 , 1 .
Resolução
4.

Seja C a curva obtida pela interseção das duas superfícies z = x + 2 y e x 3 + y 3 + z 3 = 7 . Uma parametrização da reta tangente a C no ponto ( 2 , - 1 ,   0 ) é:

(a) 2 , - 1 ,   0 + t 1,2 , 1 ,     t ∈ R

(b) 2 , - 1 ,   0 + t 1,2 , - 1 ,     t ∈ R

(c) 2 , - 1 ,   0 + t 1 , - 4 , - 7 ,     t ∈ R

(d) 2 , - 1 ,   0 + t 12 ,   3 ,   0 ,     t ∈ R

(e) 2 , - 1 ,   0 + t 3 , - 12 ,   21 ,     t ∈ R

Resolução
5.

Encontre uma equação paramétrica para a reta tangente à curva de interseção das superfícies

x 2 + 2 y + 2 z = 4       e       y = 1

no ponto 1,1 , 1 2 .

(a) x = 1 - 2 t ,   y = 1 ,   z = 1 2 + 2 t

(b) x = 1 ,     y = 1 ,     z = 1 2 + 2 t

(c) x = - 2 t ,     y = 0 ,     z = 2 t

(d) x = 1 - 2 t ,     y = 1 ,     z = 1 2 - 2 t

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Resolução
6.

Considere as superfícies S 1   : 2 x 2 - y 2 - e z = 0 e S 2   : z = 3 x 2 y - 3 y ² .

As equações paramétricas da reta tangente à curva γ = S 1 ∩ S 2 no ponto ( 1,1 , 0 ) , são dadas por:

(a) x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = t

(b) x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = 0

(c) x = 1 + 4 t , y = 1 - 2 t , z = - t

(d) x = 1 + 6 t , y = 1 - 3 t , z = - t

(e) nenhum dos outros itens

Resolução
7.
  1. Seja S a superfície de equação 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z = 1 . Encontre o plano tangente a S no ponto - 4 , - 1 , - 1 .
  2. Considere a curva C = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 = 1 ,   2 x + 4 y = z 2   e   z < 0 } . Determine e esboce os pontos de C nos quais a reta tangente é paralela ao plano encontrar no item ( a ) .
  3. Encontre uma parametrização para a interseção de S do item ( a ) com o plano x = 3 y .
Resolução
8.

Seja γ uma curva cuja imagem é o conjunto C = x , y , z ∈ R 3 : x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1   e   x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

a) Dê a equação da reta tangente a γ no ponto 0,1 , - 1 .

b) Determine os pontos de C para os quais a reta tangente a γ é paralela ao plano O x y .

Resolução
9.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x + z - 6 x y + 6 y z = 1

e

S 2 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z = 1 .

Considere a curva C que é a intersecção de S 1 e S 2 . Determine um ponto P em C tal que a reta tangente à curva C no ponto P seja paralela à reta

x , y , z = 1 ,   2 ,   3 + λ 5 ,   0 ,   7 ,     λ ∈ R

Dê a equação da reta tangente à curva C no ponto P .

Resolução
11.

Seja S 1 o gráfico da função f : R 2 → R e S 2 a superfície de nível 0 de F x , y , z = x 2 - y + z 2 .

Seja C = S 1 ∩ S 2 e P = 1,2 , 1 ∈ C . Determine a equação da reta tangente à C em P , sabendo que

∂ f ∂ x 1,2 = 3         e       ∂ f ∂ y 1,2 = 5

Resolução
12.

Seja C a curva dada pela interseção das duas superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 2 e z = x 2 - y 2 . Qual dos seguintes vetores é tangente a C no ponto 1 , - 1,0 ?

a 2,2 , 1 ;

b 1 , - 1,0 ;

c 1,1 , 0 ;

d 1,1 , 4 ;

e 1,0 , - 1 .

Resolução
13.

Seja C a interseção das superfícies

z = y 2 - x 2

z = 3 x 2 + 2 y 2 - 1

O vetor tangente a C no ponto P = 1 2 , 0 ,   - 1 4 tem a mesma direção do vetor

  1. v = ( 0,1 , 0 )
  2. v = ( 0,0 , 1 )
  3. v = ( 1,0 , 1 )
  4. v = ( 1,0 , 0 )
Resolução
14.

A equação da reta tangente à curva de interseção das superfícies

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

x y z = 1

No ponto P = ( 1,1 , 1 ) comum a ambas as superfícies é:

  1. r t = 1,1 , 1 + - 2,4 , - 2 t ,       t ∈ R
  2. r t = 1,1 , 1 + - 2,4 , 2 t ,       t ∈ R
  3. r t = 1,1 , 1 + - 1,2 , - 2 t ,       t ∈ R
  4. r t = 1,1 , 1 + - 2 , - 2,1 t ,       t ∈ R
  5. r t = 1,1 , 1 + 2,4 , 2 t ,       t ∈ R
Resolução
15.

Um ponto no qual a curva dada pela intersecção das superfícies

x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1

E

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Tem direção tangente paralela ao eixo O x é:

  1. ( 0,0 , 1 )
  2. ( - 1,0 , 0 )
  3. ( 1,0 , 0 )
  4. 2 2 , 0 , - 2 2
  5. Inexistente.
Resolução
16.

Um ponto no qual a curva dada pela intersecção das superfícies

y 2 - 2 x y - 2 x + z 2 = 1

E

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Tem direção tangente paralela ao eixo O y é:

  1. ( 0,0 , - 1 )
  2. ( 0 , - 1 , 0 )
  3. ( 0,1 , 0 )
  4. 2 2 , 0 , - 2 2
  5. Inexistente.
Resolução
17.

Considere a curva C formada pela interseção do paraboloide 2 z = x 2 + y 2 com o elipsoide 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 . A reta tangente a C no ponto 1 , 1,1 intersecta o plano horizontal z = 0

  1. No ponto 3 , - 2,0
  2. No ponto 1,1 , 0
  3. No ponto 1 , - 1 / 2,0
  4. No ponto 1 / 3,2 , 0
  5. Em nenhum ponto, pois esta paralela a esse plano
Resolução

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