Sejam z e w dois complexos quaisquer. Verifique que:

b) z.w¯ = z¯.w¯ (O conjugado do produto é o produto dos conjugados)

Passo 1

Se z   e   w são complexos podemos entender

z = a + b i → z ¯ = a - b i

w = c + d i → w ¯ = c - d i

Então se quisermos z . w ¯ precisamos calcular o produto dos dois e depois tirar o conjugado do resultado.

Já pro segundo caso precisamos apenas multiplicar o que já temos( z ¯   e   w ¯ )

Passo 2

Para achar z . w ¯ vamos pegar z   e   w e achar o produto deles(lembrando que i 2 = - 1 ):

z . w = a + b i c + d i = a c + a d i + b c i + d b i 2 = a c + a d + b c i - d b

= a c - d b + a d + b c i

Ok! Agora que temos o valor de z . w vamos achar o conjugado desse valor.

Para isso vamos pegar o termo que multiplica o i e usar o oposto dele que é - a d + b c :

z . w ¯ = a c - d b - a d + b c i

Passo 3

Para achar z ¯ . w ¯ vamos fazer o produto dos conjugados de   z   e   w :

z ¯ . w ¯ = a - b i c - d i = a c - a d i - c b i + d b i 2 = a c - a d i - c b i - d b

= a c - d b + - a d - c b i = a c - d b - a d + c b i

z ¯ . w ¯ = a c - d b - a d + c b i

Passo 4

Agora mostramos que eles são iguais:

z . w ¯ = a c - d b - a d + b c i

z ¯ . w ¯ = a c - d b - a d + c b i

z . w ¯ = z ¯ . w ¯

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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