Enunciado

Resolva os problemas de valor de contorno:

y^(' ') - 8 y^' + 17 y = 0 , y (0) = 3 , y (pi) = 2

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor de contorno! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r^2 - 8 r + 17 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (8 + sqrt(64 - 4 (1) (17)))/(2) = (8 + 2 i)/(2) = 4 + i

r_1 = (8 - sqrt(64 - 4 (1) (17)))/(2) = (8 - 2 i)/(2) = 4 - i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e^(4 x) (C_1 cos x + C_2 sen x)

Vamos aplicar os valores de contorno dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 3 :

C_1 = 3

Aplicando o segundo valor de contorno y (pi) = 2 , temos

2 = e^(4 pi) ( C_1 cos pi + C_2 sin pi )

C_1 = - 2 // e^(4 pi)

Como encontramos dois valores diferentes para C_1 e nenhum valor para C_2 , podemos afirmar que não temos solução.

Resposta

Não há solução.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c 1 e 2 t + c 2 e - 3 t .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. 2 ⋅ y ' ' - 3 ⋅ y ' + y = 0
Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t → ∞ ; determine, também, os valores de α , se existirem, para os quai
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 2 ⋅ y ' - 2 ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' + 2 ⋅ y ' - 3 ⋅ y = 0