Resolva os problemas de valor de contorno:

y'' - 8y' + 17y = 0, y(0) = 3, y(pi) = 2

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor de contorno! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r 2 - 8 r + 17 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = 8 + 64 - 4 1 17 2 = 8 + 2 i 2 = 4 + i

r 1 = 8 - 64 - 4 1 17 2 = 8 - 2 i 2 = 4 - i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e 4 x C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x

Vamos aplicar os valores de contorno dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 3 :

C 1 = 3

Aplicando o segundo valor de contorno y π = 2 , temos

2 = e 4 π ( C 1 cos ⁡ π + C 2 sin ⁡ π )

C 1 = - 2 / e 4 π

Como encontramos dois valores diferentes para C 1 e nenhum valor para C 2 , podemos afirmar que não temos solução.

Resposta

Não há solução.

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