Se H(θ) = θ \* sen(θ) , encontre H'(theta) e H''(theta) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

H θ = θ sen ⁡ θ

Para isso, precisaremos aplicar a regra do produto, que é dada por:

u v ' = u ' v + u v '

A gente também precisa ter em mente as seguintes derivadas:

s e n   x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Para derivarmos esta função, devemos aplicar a regra do produto:

H ' θ = d d x θ sen ⁡ θ ∴

H ' θ = d d θ θ × sen ⁡ θ + θ × d d θ sen ⁡ θ

Aplicando a derivada da potência e do seno, temos:

H ' θ = 1 × sen ⁡ θ + θ × cos ⁡ θ ∴

H ' θ = sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ

Passo 3

Para encontrarmos H " ( θ ) vamos derivar H ' ( θ ) por meio da regra do produto, lembrando que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas:

H ' ' θ = d d x sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ ∴

H ' ' θ = d d x sen ⁡ θ + d d x θ cos ⁡ θ

Aplicando a derivada do seno e aplicando novamente a derivada do produto, temos:

H ' ' θ = cos ⁡ θ + d d x θ cos ⁡ θ + θ d d x cos ⁡ θ ∴

H ' ' θ = cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ + θ ( - sen ⁡ θ )   ∴

H ' ' θ = 2 cos ⁡ θ - θ sen ⁡ θ

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

H ' θ = sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ

H ' ' θ = 2 cos ⁡ θ - θ sen ⁡ θ

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