Enunciado

61. Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de f x = x 2 e x . Você percebe um padrão nestas expressões? Crie uma fórmula para e demonstre-a usando a indução matemática.

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😬

Queremos encontrar as expressões das primeiras derivadas da função f x = x 2 e x e tambem obter uma experssão que nos resulte em qualquer derivada.

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

Analisando f vemos que se trata de um produto de duas outras funções ( x 2 e e x ), portanto, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra do produto.

f x = g x · h x → f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Vamos, então, à primeira derivada.

Para isso usaremos a Regra do Produto, assim:

f ' x = 2 x e x + x 2 e x

f ' x = 2 x + x 2 e x

A segunda derivada, obtemos derivando a primeira derivada f ' ( x ) , usando novamente a Regra do produto, assim:

f ' ' x = 2 + 2 x e x + 2 x + x 2 e x

f ' ' x = 2 + 4 x + x 2 e x

A terceira derivada, obtemos derivando a segunda derivada f ' ' ( x ) , usando mais uma vez a Regra do Produto:

f 3 = 4 + 2 x e x + 2 + 4 x + x 2 e x

f ( 3 ) = 6 + 6 x + x 2 e x

Da mesma forma teremos: f ( 4 ) = 12 + 8 x + x 2 e x

f ( 5 ) = 20 + 10 x + x 2 e x

E assim por diante...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Observe que para cada derivada de f temos o fator e x e um fator quadrático cujos coeficientes seguem uma lei de formação.

Perceba que o coeficiente de x é sempre a multiplicação da ordem de derivação pelo número 2, o coeficiente de x 2 é sempre o número 1, e o termo independente é a multiplicação da ordem pelo seu consecutivo antecessor. Assim, podemos concluir que:

f ( n ) = n ( n - 1 ) + 2 n x + x 2 e x

Vamos provar por indução.

Seja a afirmativa para a ordem n : f ( n ) = n ( n - 1 ) + 2 n x + x 2 e x

Temos como verdade as duas proposições:

f ' x = 2 x + x 2 e x

f ( k ) = k ( k - 1 ) + 2 k x + x 2 e x

Então, para ordem igual a k + 1 temos que:

f k + 1 = d d x f k = 2 k + 2 x e x + k k - 1 + 2 k x + x 2 e x =

f k + 1 = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) x + x 2 e x

Isto mostra que para k + 1 é verdade e assim provamos por indução.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

f ( k ) = k ( k - 1 ) + 2 k x + x 2 e x

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