Sendo y = 3x^2 - x ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = 3 x 2 - x , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = 3 ( x + Δ x ) 2 - x + Δ x - ( 3 x 2 - x )

= 3 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - x - Δ x - 3 x 2 + x

= 3 x 2 - 3 x 2 - x + x + 6 x Δ x + 3 Δ x 2 - Δ x

Δ y = Δ x 6 x - 1 + 3 Δ x 2

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = 3 x 2 - x           →               f ' x = 2 ⋅ 3 x - 1 = 6 x - 1

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( 6 x - 1 ) Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = Δ x 6 x - 1 + 3 Δ x 2 e d y = ( 6 x - 1 ) Δ x .

Δ y - d y = Δ x 6 x - 1 + 3 Δ x 2 - 6 x - 1 Δ x = 3 Δ x 2

Δ y - d y = 3 Δ x 2      

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = Δ x 6 x - 1 + 3 Δ x 2
  2. d y = ( 6 x - 1 ) Δ x
  3. Δ y - d y = 3 Δ x 2
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