Sendo y = 1 / x - x^3 ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = 1 x - x 3 , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = 1 ( x + Δ x ) - ( x + Δ x ) 3 - 1 x - x 3

= 1 ( x + Δ x ) - x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 - 1 x + x 3

= 1 ( x + Δ x ) - 1 x - x 3 - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3 + x 3

= x - ( x + Δ x ) ( x + Δ x ) x - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3

Δ y = - Δ x ( x + Δ x ) x - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = 1 x - x 3 =   x - 1 - x 3         →               f ' ( x ) = - 1 x - 2 - 3 x 2 = - 1 x 2 - 3 x 2

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = - 1 x 2 - 3 x 2 Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = - Δ x ( x + Δ x ) x - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3 e d y = - 1 x 2 - 3 x 2 Δ x .

Δ y - d y = - Δ x x + Δ x x - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3 - - 1 x 2 - 3 x 2 Δ x

= - Δ x x + Δ x x   + Δ x x 2 - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3 + 3 x 2 Δ x  

Agora vamos deixar no mesmo denominador.

Δ y - d y = - x ⋅ Δ x + Δ x ( x + Δ x ) x + Δ x x 2 - 3 x Δ x 2 - Δ x 3

Δ y - d y = Δ x 2 x + Δ x x 2 - 3 x Δ x 2 - Δ x 3

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = - Δ x ( x + Δ x ) x - 3 x 2 Δ x - 3 x Δ x 2 - Δ x 3
  2. d y = - 1 x 2 - 3 x 2 Δ x
  3. Δ y - d y = Δ x 2 x + Δ x x 2 - 3 x Δ x 2 - Δ x 3
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