Sendo y = 6 - 3x - 2x^2 ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = 6 - 3 x - 2 x 2 , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = 6 - 3 x + Δ x - 2 x + Δ x 2 - 6 - 3 x - 2 x 2

= 6 - 3 x - 3 Δ x - 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 6 + 3 x + 2 x 2

= 6 - 6 - 3 x + 3 x - 3 Δ x - 2 x 2 + 2 x 2 - 4 x Δ x - 2 Δ x 2

= - 3 Δ x - 4 x Δ x - 2 Δ x 2

Δ y = Δ x - 3 - 4 x - 2 Δ x 2

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = 6 - 3 x - 2 x 2           →               f ' x = - 3 - 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = - 3 - 4 x

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( - 3 - 4 x ) Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = Δ x - 3 - 4 x - 2 Δ x 2 e d y = ( - 3 - 4 x ) Δ x .

Δ y - d y = Δ x - 3 - 4 x - 2 Δ x 2 - - 3 - 4 x Δ x = - 2 Δ x 2

Δ y - d y = - 2 Δ x 2

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = Δ x - 3 - 4 x - 2 Δ x 2
  2. d y = ( - 3 - 4 x ) Δ x
  3. Δ y - d y = - 2 Δ x 2
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