Sendo y = x^3 - x^2 ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = x 3 - x 2 , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = ( x + Δ x ) 3 - ( x + Δ x ) 2 - ( x 3 - x 2 )

= x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 - ( x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 ) - x 3 + x 2

= x 3 - x 3 - x 2 + x 2 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 - 2 x Δ x - Δ x 2

= 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 - 2 x Δ x - Δ x 2

Δ y = Δ x 3 x 2 - 2 x + Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = x 3 - x 2           →               f ' ( x ) = 3 x 3 - 1 - 2 x = 3 x 2 - 2 x

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( 3 x 2 - 2 x ) Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = Δ x 3 x 2 - 2 x + Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3 e d y = ( 3 x 2 - 2 x ) Δ x .

Δ y - d y = Δ x 3 x 2 - 2 x + Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3 - 3 x 2 - 2 x Δ x

Δ y - d y = Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3      

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = Δ x 3 x 2 - 2 x + Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3
  2. d y = ( 3 x 2 - 2 x ) Δ x
  3. Δ y - d y = Δ x 2 3 x - 1 + Δ x 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados