Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

6. a n = sen ⁡ n π

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, notamos que a função seno em n π é igual a 0 para todo inteiro n , e também para todo número natural n . Estamos interessados ​​apenas em números naturais porque, na sequência, os termos começam de n = 1 . O seno é igual a zero quando

… , - 3 π , - 2 π , - π , 0 , π , 2 π , 3 π , …

Que nós podemos abreviar como

sin ⁡ ( k π ) = 0 ,     k ∈ Z

Portanto, nós já podemos escrever o n-ésimo termo da sequência a n como

a n = 0

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Passo 2

Como um homem é uma sequência constante e não depende da escolha de n , então conforme n vai para o infinito, o enésimo termo da sequência vai para 0:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 0 = 0

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

A   s e q u ê n c i a   a n   c o n v e r g e   e   o   lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 0 = 0

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