Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

10. a n = ln ⁡ 2 n 3 + 1 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Quando n se aproxima do infinito, então 2 n 3 + 1 vai para o infinito, e então ln ⁡ ( 2 n 3 + 1 ) também vai para o infinito. Como o numerador n também vai para o infinito quando n se aproxima do infinito, então concluímos que o limite

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ ∞   ( 2 )

Tende para uma forma indeterminada, com isso, vamos aplicar a regra de L’Hospital para tentar tirar essa indeterminação!

Passo 2

Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hospital para calcular o limite (2). Aplicaremos a regra de L'Hospital diferenciando o numerador separadamente e diferenciando o denominador separadamente:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 3 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 3 + 1 ' n '

Calculando as derivadas, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 3 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 3 + 1 ∙ 2 n 3 + 1 ' 1 = lim n → ∞ ⁡ 6 n 2 2 n 3 + 1

Desenvolvendo um pouco mais esses termos, obtemos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 3 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 6 2 n + 1 n 2   ( 3 )

Passo 3

À medida que n se aproxima do infinito, então 1 n 2 ​ vai para 0 e 2 n vai para o infinito. Ou seja, concluímos que o denominador tende ao infinito.

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n 2 = ∞

Como o numerador é uma constante, ou seja, igual a 6, ele independe da escolha de n . Portanto, quando n se aproxima do infinito, o numerador vai para 2 :

lim n → ∞ ⁡ 6 = 6

Do cálculo anterior, concluímos que o denominador se torna cada vez maior à medida que n se aproxima do infinito e o numerador é fixo. Quando dividimos um número fixo por um número cada vez maior, a fração se aproxima cada vez mais do número 0 .

Portanto, concluímos que toda a expressão vai para 0 . A avaliação do limite (3) é igual a:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 6 2 n + 1 n 2 = 0

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 0

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