Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

11. a n = n - 5 n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos anotar o enésimo termo e dividindo a fração em duas frações:

a n = n n - 5 n n = 1 - 5 n n

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Para calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ 1 - 5 n n   ( 2 )

Devemos nos lembrar de um limite especial que costuma aparecer na sequência:

lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x ,     ∀ x ∈ R   ( 3 )

Passo 2

Comparando as expressões (2) e (3), vemos que o sinal + deve ser colocado entre parênteses entre o 1 e a fração. Portanto, inseriremos o sinal de menos no numerador da fração, ou seja, próximo ao número 5:

lim n → ∞ ⁡ 1 + - 5 n n   ( 4 )

A partir da expressão (4), podemos ver agora que, se incluirmos x = - 5 no limite de (3) para x , obtemos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + - 5 n n = e - 5

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ 1 + - 5 n n = e - 5

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