Enunciado

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

93. a 1 = - 4 ,   a n + 1 = 8   +   2 a n

Passo 1

E aí, pessoal! Beleza? Então, vamos partir para mais uma resolução de questões!

O enunciado diz que a sequência converge, então já vamos partir desse pressuposto. Então, para tentar encontrar o limite, vamos calcular os valores dos primeiros termos para ver se aparece algum padrão:

  a 2 = 8 + 2 a 1 = 8 + 2 ( - 4 ) = 0

  a 3 = 8 + 2 a 2 = 8   ≈ 2,828

  a 4 = 8 + 2 a 3 = 8 + 2 ⋅ 2,828   = 8 + 5,656   = 13,656   ≈ 3,695

  a 5 = 8 + 2 a 4 = 8 + 2 ⋅ 3,695   = 15,39   ≈ 3,923

  a 6 = 8 + 2 a 5 = 8 + 2 ⋅ 3,923   = 15,846   ≈ 3,98

Passo 2

Bom, já dá pra entender que estamos nos aproximando do número 4 , mas vamos calcular o três próximos termos para ver o que acontece:

  a 7 = 8   +   2 a 6 = 8 + 2 ⋅ 3,98   = 15,96   ≈ 3,995

  a 8 = 8   +   2 a 7 = 8 + 2 ⋅ 3,995   = 15,99   ≈ 3,999

  a 9 = 8   +   2 a 8 = 8 + 2 ⋅ 3,999   = 15,998   ≈ 3,9997 ≈ 4

Finalmente “chegamos” no número 4 . O que acontece agora? Fica ligado no próximo passo.

Passo 3

No passo anterior, nós mostramos que o nono elemento da sequência se aproxima bastante do número 4 e cada termo da sequência vai se aproximar mais ainda. Mas será que a sequência converge mesmo para 4 ou passa desse número? Para verificar isso, vamos supor que para um l i m n → ∞ a n = L . Assim,

l i m n → ∞ a n + 1 = l i m n → ∞ 8   +   2 a n = 8   + l i m n → ∞   2 a n

L = 8   +   2 L ⇒ L 2 = 8 + 2 L

⇒ L 2 - 2 L - 8 = 0 ⇒ ( L - 4 ) ( L + 2 ) = 0

Então podemos ter L = - 2 ou L = 4 . Mas, como a gente tá sempre considerando que o resultado da raíz é positivo, o valor L = - 2 não é possível. Assim, o limite da sequência é L = 4 .

Resposta

4

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