Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

81. a n = t g - 1 n

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão de convergência de sequência. Preparados? Então, bora lá!

Para saber se a sequência converge, o limite dela quando n → ∞ deve existir. Se não tiver um limite ou se ele for infinito, então a sequência é divergente. Tá, mas você deve tá se perguntando como calcular o limite

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ t g - 1 n

não é mesmo? Então, se liga aí no próximo passo.

Passo 2

A gente vai precisar usar o resultado do Teorema 4 que basicamente diz que se a gente tiver uma sequência a n = f ( n ) para n ≥ n 0 , ou seja, a partir de algum valor de n , então

l i m x → ∞ f ( x )   = L ⇒ l i m n → ∞ a n = L

Então, a gente só precisa encontrar a função f ( x ) e calcular o limite. Mas essa função é justamente

f ( x ) = t g - 1   x

Passo 3

Pronto, agora a gente precisa do limite l i m x → ∞ f ( x )   , mas isso é fácil porque esse a função t g - 1   x → π 2 quando x → ∞ . Ou seja,

l i m x → ∞ t g - 1   x = π 2 ⇒ l i m n → ∞ a n = π 2

Então, a sequência converge para π 2 É só isso, pessoal! Nos vemos na próxima!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = π 2

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