Enunciado

Simplifique: 2 5^()^(l o g _5 ( 3 x^()^2 ))

Passo 1

Então, galerinha, esse aí dá medo, né? Mais feio que o bicho papão! Mas vou te ensinar a enfrentar esse monstro de uma vez por todas! O problema quer que você deixe isso com uma cara mais fofinha e aceitável. Pra isso, basta fazermos o seguinte:

Passo 2) chamar tudo de y e passar logaritmo dos dois lados

Passo 3) usar propriedades de log

Passo 4) pegar uma forma mais simples e achar a resposta

Passo 2

Então, como eu disse no Passo 1, vamos chamar tudo aquilo de y pra ficar mais fácil, ok?

2 5^()^(l o g _5 ( 3 x^()^2 )) = y

Agora, pra a gente poder tirar aquele log dali do expoente, temos que passar log dos dois lados da igualdade e usar uma propriedade de log que desce o expoente.

ATENÇÃO: 1) Tem que passar log DOS DOIS LADOS, senão não vale

2) O log dos dois lados tem que ter a mesma base, senão também não vale

Vamos usar a base (aquele numerozinho que fica embaixo) como 5, porque a base do log do expoente é 5, então isso vai facilitar um pouco a nossa vida hehe

l o g _5 ( 2 5^()^(l o g _5 ( 3 x^()^2 )) ) = l o g _5 y

.

Passo 3

Agora vamos usar essa propriedade de logaritmo aqui:

l o g _b a^()^n = n l o g _b a

Ela, basicamente, desce o expoente do que tá dentro do log, beleza? Então, na nossa expressão (essa daqui 2 5^()^(l o g _5 ( 3 x^()^2 )) ) a gente vai descer o expoente que tá dentro do log e fica assim:

l o g _5 ( 3 x^()^2 ) l o g _5 25 = l o g _5 y

Como 25 = 5^()^2

l o g _5 ( 3 x^()^2 ) l o g _5 5^()^2 = l o g _5 y

Usando de novo a propriedade de descer o expoente…

l o g _5 ( 3 x^()^2 ) 2 l o g _5 5^()^() = l o g _5 y

Vamos lembrar que l o g _n n = 1 pra qualquer n != 0 e n > 1 , então:

l o g _5 ( 3 x^()^2 ) 2 = l o g _5 y

Agora vamos usar a mesma propriedade, só que “reversa”. Ao invés de descer o expoente do log, vamos subir o 2 pra virar expoente do log. Saca só:

l o g _5 ( 3 x^()^2 )^()^2 = l o g _5 y

l o g _5 ( 9 x^()^4 ) = l o g _5 y

Passo 4

l o g _5 ( 9 x^()^4 ) = l o g _5 y

Repara que pra um lado ser igual ao outro, o y tem que ser igual a 9 x^()^4 , consegue ver?Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais!

Resposta

9 x^()^4

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Dado que t = sec - 1 ⁡ - 3 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ t ; (b) cos ⁡ t ; (c) tan ⁡ t ; (d) cot ⁡ t ; (e) csc ⁡ t .
Dado que y = cot - 1 ⁡ - 1 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ y ; (b) cos ⁡ y ; (c) tan ⁡ y ; (d) sec ⁡ y ; (e) csc ⁡ y .
Ache o valor exato da quantidade dada: tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 7 π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 4 π 3
Ache o valor exato da quantidade dada: tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 4 π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 7 π 6
Ache o valor exato da quantidade dada: cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6 cot - 1 ⁡ cot ⁡ - π 3 cot - 1 ⁡ cot ⁡ 7 π 6 cot - 1 ⁡ tan ⁡ - 4 π 3