Para que valores de a e b temos lim x->0 (tg2x/x^3) + (a/x^2) + (sen(bx)/x)

Passo 1

Inicialmente iremos dividir os limites na soma de limites. Essa propriedade tem como definição:

l i m x → 0 w + y + v = l i m x → 0 w + l i m x → 0   y + l i m x → 0   v

Usando a definição acima reescrevemos nossa expressão como:

l i m x → 0 t g 2 x x 3 + a x 2 + s i n ( b x ) x = l i m x → 0 t g 2 x x 3 + l i m x → 0   a x 2 + l i m x → 0   s i n ( b x ) x

l i m x → ∞ x 2 - x + 1 x 2 + 1 + x = l i m x → ∞ d d x x 2 - x + 1 d d x x 2 + 1 + d d x x = l i m x → ∞ 2 x - 1 1 2 2 x x 2 + x - 1 2 1 x = l i m x → ∞ 2 x - 1 1 2 2 x x 1 + 1 / x - 1 2 1 x

l i m x → ∞ 2 x - 1 1 2 2 x x 1 + 1 / x - 1 2 1 x = l i m x → ∞ 2 x - 1 1 2 2 1 - 1 2 1 x = l i m x → ∞ 2 x - 1 2 - 0 = ∞

Passo 2

Assim iremos calcular o valor de cada limite. O primeiro será:

l i m x → 0 t g 2 x x 3 = 0 0 , encontramos aqui uma indeterminação. Para resolvê-lo aplicamos L’Hopital:

l i m x → 0 t g 2 x x 3 = l i m x → 0 d d x t g 2 x d d x x 3 = l i m x → 0 2 s e c 2 2 x 3 x 2 =

Resposta

l i m x → ∞ x 2 + 1 - x = ∞

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