Simplifique a expressão

cos(2 \* tan^(-1)(x))

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos simplificar a seguinte expressão:

cos ⁡ ( 2 tan - 1 ⁡ x )

Para isso, devemos lembrar das relações trigonométricas num triângulo retângulo. Veja só:

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Se chamarmos

y = tan - 1 ⁡ x

Então

tan ⁡ y = x

Então, podemos montar um triângulo retângulo que nos dê a relação acima

Passo 3

Agora, utilizando propriedades trigonométricas, temos:

cos 2 ⁡ y = 1 - cos ⁡ 2 y 2 ∴

cos ⁡ 2 y = 2 cos 2 ⁡ y - 1

Pelo triângulo do Passo 2, temos:

cos ⁡ y = 1 1 + x 2 ∴

cos 2 ⁡ y = 1 1 + x 2

Então

cos ⁡ 2 y = 2 1 + x 2 - 1 ∴

cos ⁡ 2 y = 2 - 1 - x 2 1 + x 2 = 1 - x 2 1 + x 2 ∴

cos ⁡ 2 tan - 1 ⁡ x = c o s ⁡ ( 2 y ) = 1 - x 2 1 + x 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

cos ⁡ 2 tan - 1 ⁡ x = 1 - x 2 1 + x 2

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