Enunciado

Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:

a) Qual o tamanho da população após 15 horas?

b) Qual o tamanho da população após t horas?

c) Qual o tamanho da população após 20 horas?

d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 50000 bactérias.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas e que inicialmente existam 100 bactérias.

A partir disso, a questão quer que calculemos o tamanho da população de bactérias após 15 ,   t e 20 horas.

Para isso, temos que relembrar um pouquinho das funções exponenciais.

Além disso, a questão também pede para traçarmos um gráfico da função população e estimar o tempo para a população atingir 50000 bactérias.

Para isso, a gente vai descobrir uma função exponencial e traçar esse gráfico.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Esse é um proble típico sobre crescimento populacional exponencial.

A cada 3 horas a população de bactérias dobra. Assim, em 15 horas, ela vai ter dobrado cinco vezes:

100 → 200 → 400 → 800 → 1600 → 3200

Portanto, após 15 horas, o tamanho da população será de 3200 bactérias.

Passo 3

Sabemos que a cada três horas a população dobra de tamanho. Assim, a população será dada por

y = 100 ⋅ 2 n ,

onde n é o número de períodos de três horas. Assim, temos que

n = t 3

Portanto,

y = 100 ⋅ 2 t / 3

Passo 4

Para t = 20 basta substituirmos na fórmula que acabamos de encontrar:

y = 100 ⋅ 2 20 / 3 ≈ 10160

Passo 5

A seguir plotamos a função y = 100 ⋅ 2 t / 3 e a reta y = 50000 :

Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em t ≈ 27 .

Assim, após aproximadamente 27 horas a população de bactérias será superior a 50000 .

Resposta

3200

y = 100 ⋅ 2 t / 3

10160

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