Enunciado

Se o sólido do Exercício 17(a) tiver densidade constante k , encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z .

Sólido delimitado pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Transformação: x = a u   ,     y = b v   ,     z = c w

Passo 1

Pessoal, lembre-se que a integral que dá o momento de inércia em relação ao eixo z é:

I z = ∭ E   x 2 + y 2   ρ x ,   y ,   z   d V

Sabemos que ρ x ,   y ,   z = k , e com as novas variáveis, teremos:

x 2 + y 2 = a u 2 + b v 2 = a 2 u 2 + b 2 v 2

Além disso, a equação do elipsoide ficará assim:

a u 2 a 2 + b v 2 b 2 + c w 2 c 2 = 1

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Passo 2

Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação:

∂ x ,   y ,   z ∂ u ,   v ,   w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Então, podemos reescrever a integral assim:

I z = ∭ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1   k a 2 u 2 + b 2 v 2   a b c   d u   d v   d w

Passo 3

Podemos resolver a integral mais facilmente se passarmos para coordenadas esféricas, assim:

u = ρ   s e n   ϕ cos ⁡ θ   ,       v = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ   ,       w = ρ cos ⁡ ϕ

I z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 k   a b c   ( a 2 ρ 2   s e n 2   ϕ cos 2 ⁡ θ + b 2 ρ 2   s e n 2   ϕ   s e n 2   θ ) ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = k   a b c ∫ 0 2 π ( a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2   s e n 2   θ ) d θ ∫ 0 π s e n 3   ϕ   d ϕ ∫ 0 1 ρ 4 d ρ = k   a b c   a 2 θ 2 + a 2   s e n 2 θ 4 + b 2 θ 2 - b 2   s e n 2 θ 4 0 2 π - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π ρ 5 5 0 1 = k   a b c   a 2 π + b 2 π 4 3 1 5 = 4 k 15 a b c a 2 + b 2 π

Resposta

4 k 15 a b c a 2 + b 2 π

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