Enunciado

Calcule o comprimento da curva:

x = (t)/(1 + t) , y = ln (1 + t) , 0 <= t <= 2

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = int_a^b [[sqrt(1 + (((d y)/(d t))/((d x)/(d t)))^2) (d x)/(d t) d t],[]]

Passando (d x)/(d t) ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x e y , certo?

x = (t)/(1 + t)

d x = ((1 + t) - t)/((1 + t)^2) d t

d x = (1)/((1 + t)^2) d t

((d x)/(d t))^2 = (1 + t)^(- 4)

y = ln (1 + t)

d y = (1)/(1 + t) d t

((d y)/(d t))^2 = (1 + t)^(- 2)

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = int_0^2 sqrt((1 + t)^(- 4) + (1 + t)^(- 2)) d t

Tirando o MMC:

L = int_0^2 sqrt((1 + (1 + t)^2)/((1 + t)^4)) d t

L = int_0^2 (sqrt((1 + t)^2 + 1))/((1 + t)^2) d t

Fazendo a substituição:

u = 1 + t

d u = d t

L = int_0^2 (sqrt(u^2 + 1))/(u^2) d u

Multiplicamos a fração por (sqrt(u^2 + 1))/(sqrt(u^2 + 1)) já que pode ficar com a cara de algumas integrais que encontramos em tabelas:

L = int_0^2 (sqrt(u^2 + 1))/(u^2) * (sqrt(u^2 + 1))/(sqrt(u^2 + 1)) d u

L = int_0^2 (u^2 + 1)/(u^2 sqrt(u^2 + 1)) d u

L = int_0^2 (u^2)/(u^2 sqrt(u^2 + 1)) + (1)/(u^2 sqrt(u^2 + 1)) d u

L = int_0^2 (1)/(sqrt(u^2 + 1)) + (1)/(u^2 sqrt(u^2 + 1)) d u

Passo 4

Agora é a hora de darmos aquela coladinha na tabela pra sabermos que:

int_0^2 (1)/(sqrt(u^2 + 1)) d u = ln |u + sqrt(u^2 + 1)|

Bom, para encontrarmos a resposta da segunda parte da nossa integral precisamos lembrar que ao derivar:

(f (x))/(g (x)) = (f^' (x) g (x) - f (x) g (x))/(g ( x )^2)

Assim, podemos considerar que a integral da segunda parte tem u^2 no denominador, como sqrt(u^2 + 1) não é fácil de remover podemos tentar derivar (sqrt(u^2 + 1))/(u) :

(sqrt(u^2 + 1))/(u) = D

D^' = ((1)/(2) * (1)/(√ ( u^2 + 1 )) * 2 u * u - sqrt(u^2 + 1))/(u^2)

D^' = ((u^2)/(√ ( u^2 + 1 )) - (( u^2 + 1 ))/(√ ( u^2 + 1 )))/(u^2)

D^' = ((u^2 - u^2 - 1)/(√ ( u^2 + 1 )))/(u^2)

D^' = (- 1)/(u^2 √ ( u^2 + 1 ))

Passo 5

Olha só, quase chegamos lá. Se deu o resultado que esperávamos negativo, significa que a D = - (sqrt(u^2 + 1))/(u) . E então:

L = int_0^2 (1)/(sqrt(u^2 + 1)) + (1)/(u^2 sqrt(u^2 + 1)) d u

L = ln |u + sqrt(u^2 + 1)| - (sqrt(u^2 + 1))/(u) (2)/(0)

Antes de tomarmos os limites vamos substituir novamente u :

L = ln |1 + t + sqrt(( 1 + t )^2 + 1)| - (sqrt((1 + t)^2 + 1 ))/(1 + t) (2)/(0)

L = ln |3 + sqrt(10)| - (sqrt(10))/(3) - ln |1 + sqrt(2)| + √ 2

L = ln ((3 + sqrt(10))/(1 + sqrt(2))) + (3 sqrt(2) - sqrt(10))/(3)

Resposta

L = ln ((3 + sqrt(10))/(1 + sqrt(2))) + (3 sqrt(2) - sqrt(10))/(3)

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