Enunciado

Uma região R no plano x y é dada. Determine equações para a transformação   T que mapeia uma região retangular   S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v . R é o paralelogramo com vértices (0, 0), (4, 3), (2, 4), (2, 1)

Passo 1

Para o exercício em questão vamos precisar encontrar as equações de reta dos lados do paralelogramo e depois aplicar a transformação de x - y para u - v , analisando os novos limites para o novo plano.

Passo 2

Vamos começar calculando as equações para os lados do paralelogramo.

Temos que os dois pontos que podemos usar para a reta azul são 0,0 , ( - 2,1 ) . Assim, temos que nossa reta será dada por

y - y o = m ⋅ ( x - x o )

Onde x o , y o é um ponto qualquer por onde a reta passa e m = Δ y Δ x . Calculando m para os dois pontos que temos, chegamos que

m = 0 - 1 0 - - 2 = - 1 2

E o ponto que iremos escolher será ( 0,0 ) . Assim, nossa equação ficará sendo como

y - 0 = - 1 2 ⋅ x - 0

y = - 1 2 ⋅ x

Para a reta laranja, iremos usar a mesma equação, porém agora com os pontos - 2,1 , 2,4 . Nossa inclinação da reta será

m = 4 - 1 2 - ( - 2 ) = 3 4

Selecionando qualquer dos dois pontos que passe pela reta, chegamos que nossa equação será

y = 3 4 ⋅ x + 5 2

Fazendo o mesmo processo para a reta rosa e verde, chegamos que cada uma, respectivamente, será

y = - 1 2 ⋅ x + 5

E

y = 3 4 ⋅ x

Temos que as retas azul e rosa são parecidas, assim como as laranja e verde. Podemos então separar em dois conjuntos. O primeiro será

y = - 1 2 ⋅ x → y + 1 2 ⋅ x = 0

y = - 1 2 ⋅ x + 5 → y + 1 2 ⋅ x = 5

Podemos chamar então esse termo em comum de v = y + 1 2 ⋅ x . Assim, a equação acima fica

v = 0

v = 5

Fazendo o mesmo processo para o segundo conjunto de equações, temos que agora u = y - 3 4 ⋅ x . Assim, temos que

u = 0

u = 5 2

Assim, ficamos com o seguinte gráfico.

Resposta

u = y - 3 4 ⋅ x

v = y + 1 2 ⋅ x

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