Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.2 - Ex. 43

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desse livro

Um sólido de revolução é formado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pela reta x = c ( c > 0 ) gira em torno do eixo y . Tome os elementos de área retangulares paralelos ao eixo de revolução e determine o valor de c que irá dar um volume de 12 π unidades cúbicas.

Passo 1

Essa é uma questão um pouco diferente pois ela não pede para calcularmos o volume diretamente: ele já é dado e precisamos determinar o valor de c (que será um limite de integração) para que o volume tenha esse valor ( 12 π ). Além disso, é pedido que usemos elementos retangulares paralelos ao eixo de revolução, então devemos usar o método das cascas cilíndricas (invólucro cilíndrico).

A região que será rotacionada em torno do eixo y é

Assim, o volume da região será

V = ∫ 0 c 2 π x f x   d x ,

onde f x = x 1 / 3 . Assim,

V = 2 π ∫ 0 c x 4 / 3   d x

Passo 2

Fazendo a integração, temos que

V = 2 π 3 7 x 7 3 0 c = 2 π ⋅ 3 7 ⋅ c 7 3 = 6 π 7 c 7 / 3

Mas sabemos que V = 12 π . Desta forma,

6 π 7 c 7 3 = 12 π

Logo,

c 7 / 3 = 14

Portanto,

c = 14 3 / 7

Resposta

14 3 / 7

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