Enunciado

Se um som com frequência f s for produzido por uma fonte se movendo ao longo de uma reta com velocidade v s e um observador estiver se movendo com velocidade v o   ao longo da mesma reta a partir da direção oposta, em direção à fonte, então a frequência do som ouvido pelo observador é

f o = c + v o c - v s f s

onde c é a velocidade do som, cerca de 332   m / s . (Este é o efeito Doppler.) Suponha que, em um momento particular, você está em um trem se movendo a 34   m / s e acelerando a   1,2   m / s 2 . Um trem se aproxima de você da direção oposta no outro trilho a 40   m / s , acelerando a 1,4   m / s 2 , e toca seu apito, que tem frequência de 460   H z . Neste instante, qual é a frequência aparente que você ouve e quão rapidamente ela está variando?

Passo 1

Para calcular a frequência aparente, basta substituir os valores, temos que v o = 34 e v s = 40 e f s = 460

f o = 332 + 34 332 - 40 460

f o = 366 292 460 = 576,6   H z

Passo 2

Pra saber a variação neste instante, vamos derivar em relação ao tempo, usando a regra da cadeia, já que a função f o depende das velocidades, considerando que a frequência emitida é constante ao longo do tempo, temos a equação

d f o d t = ∂ f o ∂ v o d v o d t + ∂ f o ∂ v s d v s d t

Calculando as derivadas parciais

∂ f o ∂ v o = f s c - v s

∂ f o ∂ v s = c + v o c - v s 2 f s

Substituindo

d f o d t = f s c - v s d v o d t + c + v o c - v s 2 f s d v s d t

Podemos colocar f s em evidencia

d f o d t = 1 c - v s d v o d t + c + v o c - v s 2 d v s d t f s

Passo 3

Substituindo os valores, temos que as variações são as acelerações, que são a o = 1,2 e a s = 1,4

d f o d t = 1 332 - 40 1,2 + 332 + 34 332 - 40 2 1,4 460

d f o d t = 1 , 2 292 + 3 66 292 2 1,4 460

d f o d t = 0,004 + 0,006 460

d f o d t = 4,6 H z s

Resposta

f o = 576,6   H z

d f o d t = 4,6 H z s

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