Enunciado

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.

r sen ⁡ θ + π 6 = 2

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

Passo 2

Sendo assim, do enunciado, temos a seguinte equação polar:

r sen ⁡ θ + π 6 = 2

Primeiramente iremos expandir a nossa equação:

sen ⁡ θ + π 6 = cos ⁡ π 6 ∙ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6

Sendo assim, temos o seguinte:

r cos ⁡ π 6 ∙ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6 = 2

Além disso, da trigonometria, sabemos:

cos ⁡ π 6 = 3 2 sen ⁡ π 6 = 1 2

Logo:

r 3 ∙ sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 2 = 2

3 r sen ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2 = 2

Transformando em coordenadas cartesianas:

x 2 + 3 y 2 = 2

x + 3 y = 4

Prontinho galera, até o próximo exercício!

Resposta

x + 3 y = 4 .

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