Enunciado

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.

r 2 = - 6 r sen ⁡ θ

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

Passo 2

Sendo assim, do enunciado, temos a seguinte equação polar:

r 2 = - 6 r sen ⁡ θ

Pela relação entre as equações, temos a equação cartesiana:

x 2 + y 2 = - 6 y

x 2 + y 2 + 6 y = 0

Somando 9 de ambos os lados, para completar o quadrado:

x 2 + y 2 + 6 y + 9 = 9

Temos o seguinte:

x 2 + y + 3 2 = 9

E temos o seguinte gráfico:

Onde é uma circunferência, C 0 ,   - 3 , com raio 3 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

x 2 + y + 3 2 = 9 , circunferência, C ( 0 ,   - 3 ) , raio 3 .

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