Enunciado

Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema

x 2 + y 2 = z x + y = 4

Determinar

a) d y d x e d z d x .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0 → F x , y , z = x 2 + y 2 - z G x , y , z = x + y - 4

Assim, as derivadas são iguais a:

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z ∂ G ∂ x ∂ G ∂ z ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - 2 x - 1 1 0 2 y - 1 1 0 = - 1 1 = - 1

d z d x = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y ∂ G ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - 2 y 2 x 1 1 1 = - 2 y + 2 x

Resposta

As derivadas são iguais a:

d y d x = - 1

d z d x = - 2 y + 2 x

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