Enunciado

Suponha que T x ,   y = 4 - 2 x 2 - 2 y 2 represente uma distribuição de temperatura no plano ( x ,   y ) . Determinar uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir de ( 1 ,   2 ) , sempre na direção e sentido de máximo crescimento de temperatura.

Passo 1

Se ele está falando em direção de máximo crescimento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o T ( x , y ) , que também é uma função, igualzinho ao f hahah Pra facilitar, vamos até dizer que T ( x ,   y ) = f → e resolver com essa letra.

g r a d   T ( x ,   y ) = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = 4 - 2 x 2 - 2 y 2

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = - 4 x

∂ f ∂ y = - 4 y

Assim,

∇ f → = - 4 x   i → - 4 y   j →

E nesse ponto P ( 1 ,   2 ) :

∇ f → 1 ,   2 = - 4   i → - 8   j →

Passo 3

Bom, esse é o gradiente da função:

∇ f → = - 4 x   i → - 4 y   j →

E esse gradiente é uma função r ' → t , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em x e y :

r ' → t = ∇ f r → t

d x d t , d y d t = - 4 x ( t ) ,   - 4 y ( t )

Isso dá um sistema!

d x d t = - 4 x ( t ) d y d t = - 4 y ( t )

Resolvendo,

x t = C 1 e - 4 t y t = C 2 e - 4 t

Ele estava inicialmente em ( 1 ,   2 ) , ou seja, quando t = 0 . Assim:

x 0 = C 1 = 1 y 0 = C 2 = 2

Portanto, a trajetória r ( t ) é dada por:

r t = e - 4 t ,   2 e - 4 t

E é claro que só serve pra t ≥ 0 , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né?

Fechou!

Resposta

r t = e - 4 t ,   2 e - 4 t ,   t ≥ 0

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