Enunciado

Uma plataforma retangular é representada no plano x y por:

0 ≤ x ≤ 15

0 ≤ y ≤ 10

A temperatura nos pontos da plataforma é dada por T x ,   y = x + 3 y . Suponha que duas particular P 1 e P 2 estejam localizadas nos pontos ( 1 ,   1 ) e ( 3 ,   7 ) , respectivamente.

a) Se a partícula P 1 se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e a partícula P 2 se deslocar na direção em que resfriará mais rapidamente, elas se encontrarão?

b) Obter uma equação para a trajetória da partícula P 1 , representando-a sob a plataforma.

Passo 1

Nessa questão ele fala sobre a direção em que a temperatura esquenta e diminui o mais rápido possível. Se ele está falando em direção de máximo crescimento (e também máximo crescimento pra diminuir, no caso do resfriamento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o T ( x , y ) , que também é uma função, igualzinho ao f hahah Pra facilitar, vamos até dizer que T ( x ,   y ) = f → e resolver com essa letra.

g r a d   T ( x ,   y ) = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Outra coisa, galera: geometricamente, a direção de esquentar e de esfriar mais rapidamente é a mesma, só muda o sentido que ele está andando!

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = x + 3 y

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 1

∂ f ∂ y = 3

Assim,

∇ f → = i → + 3 j →

Passo 3

Bom, esse é o gradiente da função:

∇ f → = i → + 3 j →

E esse gradiente é uma função r ' → t , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em x e y :

r ' → t = ∇ f r → t

d x d t , d y d t = ( 1 ,   3 )

Isso dá um sistema!

d x d t = 1 d y d t = 3

Resolvendo,

x t = t + C 1 y t = 3 t + C 2

A partícula P 1 estava inicialmente em ( 1 ,   1 ) , e P 2 está em ( 3 ,   7 ) , ou seja, em t = 0 .

Para P 1 :

x 0 = C 1 = 1 y 0 = C 2 = 1

Portanto, a trajetória r 1 ( t ) é dada por:

r 1 t = ( t + 1 ,   3 t + 1 )

Com isso encontramos a resposta da letra (b)!

Para P 2 :

x 0 = C 1 = 3 y 0 = C 2 = 7

Portanto, a trajetória r 2 ( t ) é dada por:

r 2 t = ( t + 3 ,   3 t + 7 )

E é claro que só serve pra t ≥ 0 , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né? Além disso, pra ele não sair da placa. O x máximo da placa é 15 , e o y máximo é 10 .

Assim, para P 1 :

t + 1 ≤ 15 3 t + 1 ≤ 10 → t ≤ 14 t ≤ 3

Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:

0 ≤ t ≤ 3

Para P 2 :

t + 3 ≤ 15 3 t + 7 ≤ 10 → t ≤ 12 t ≤ 1

Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Pra saber se eles se encontram, a gente vai analisar a trajetória de cada um deles. Vamos relacionar as coordenadas das trajetórias como se fossem um x e um y .

Para P 1 :

r 1 t = ( t + 1 ,   3 t + 1 )

Aqui, repara que podemos escrever:

3 t + 1 = 3 t + 1 - 2

Ou seja, é algo do tipo:

y = 3 x - 2

E para P 2 :

r 1 t = ( t + 3 ,   3 t + 7 )

Aqui, repara que podemos escrever:

3 t + 7 = 3 t + 3 - 2

Ou seja, é algo do tipo:

y = 3 x - 2

Ih, é a mesma trajetória, igualzinha! Por isso, eles só podem se encontrar!

Resposta

a) Sim, se encontram.

b) r 1 t = ( t + 1 ,   3 t + 1 )

0 ≤ t ≤ 3

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