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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.3 - Ex. 30

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desse livro

Suponha que f 3 = 2 , f ' 3 = 1 2 e f ' x > 0 e f ' ' x < 0 para todo x .

(a) Esboce um gráfico possível de f .

(b) Quantas soluções a equação f x = 0 tem? Por quê?

(c) É possível que f ' 2 = 1 3 ? Por quê?

Passo 1

Item a:

Se f 3 = 2 então o ponto ( 3,2 ) pertence ao gráfico de f . Como f ' x > 0 então f é crescente e já que f ' ' x < 0 a função possui concavidade voltada para baixo, então o gráfico pode ser esboçado por:

Passo 2

Item b:

Só existe apenas uma solução f x = 0 pois, como f é crescente em todo seu domínio, seu gráfico só corta o x uma única vez.

Passo 3

Item c:

Se a derivada segunda é sempre negativa, então a derivada primeira é sempre decrescente. Desse modo, se tivermos um número b maior que um número a ( b > a ) a derivada aplicada no menor é maior que a derivada aplicada no maior, ou seja:

f ' b < f ' a

Logo, se f ' 3 = 1 2 e 3 > 2 então:

f ' 3 < f ' 2

f ' 2 > 1 2

Como 1 / 3 não é maior que 1 / 2 então não é um valor possível para f ' 2 .

Resposta

(a)

(b) Só existe apenas uma solução f x = 0 .

(c) 1 / 2 então não é um valor possível para f ' 2 .

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