Enunciado

Um foguete é lançado da superfície da terra verticalmente para cima. Depois de esgotado todo o combustível, a massa do foguete é constante igual a m . Use a segunda lei de Newton para o movimento e o fato de que a força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância para encontrar a equação diferencial da distância y , do centro da terra ao foguete, em qualquer instante após a queima total do combustível. Enuncie condições iniciais apropriadas (ao instante t = 0 ) associadas com essa equação diferencial.

Passo 1

Da segunda lei de Newton, temos:

F = m . a

E da lei da gravitação de Newton, temos:

F = g . m 1 . m 2 r ²

Vamos usar essas duas leis a nosso favor pra resolver esse problema, beleza?

Passo 2

Seja c uma constante proporcional a g , temos:

m . a = - c . m 1 . m 2 r ²

Substituindo os valores:

m . a = - c . m . M y ²

Onde M é a massa da terra

Além disso, temos que a aceleração é a segunda derivada da posição, então:

m . d 2 y d t 2 = - c . m . M y ²

Dividindo os dois lados por m :

d 2 y d t 2 = - c . M y ²

Passo 3

Agora, pensando nas condições iniciais, vamos imaginar que quando a queima de combustível se inicial, temos t = 0

Então, temos que

y 0 = R + y r

Onde R é o raio da Terra e y r é a distância do foguete até o centro da Terra quando se inicia a queima de combustível.

Como a derivada da posição é a velocidade, temos que

y ' 0 = v r

Onde v r é a velocidade no momento em que se inicia a queima de combustível.

Resposta

d 2 y d t 2 = - c . M y ²

y 0 = R + y r

y ' 0 = v r

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