Enunciado

Suponha que f admite derivada de 3º ordem contínua no intervalo aberto I e seja p ∈   I   . Prove que se f ' p = f ' ' p = 0 e f ' ' ' p ≠ 0 então p é um ponto de inflexão horizontal.

Passo 1

Como tanto a primeira, como a segunda derivada são iguais a zero, isso não demonstra muito sobre se o ponto p é um ponto de máximo ou mínimo. Portanto, vamos fazer o seguinte:

g p = f ' p

g ' ( p ) = f ' ' p

g ' ' p = f ' ' ' p

Portanto, temos que p é um ponto de máximo ou mínimo de g ( p ) já que g ' ' ( p ) ≠ 0 . Dessa forma, como g p = 0 se p   for um ponto de máximo, qualquer Δ p que a função caminhar g ( p + Δ p   ) sera um valor negativo, caso se p   for um ponto de mínimo qualquer variação fara com que g ( p + Δ p   ) seja uma valor positivo. Portanto, isso demonstra que a inclinação da função f ( p ) para valores próximos de p se mantem com mesmo sinal durange a passagem pelo ponto p . Portanto p só ponto ser um ponto de inflexão da função f ( p ) .

Resposta

p é um ponto de inflexão da função f .

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